Декомпозиция нечетких отношений
Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии -уровня нечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что линейно упорядочено.
-уровнем нечеткого отношения называется обычное отношение , определяемое для всех следующим образом:
Очевидно, что -уровни нечетких отношений удовлетворяют соотношению:
представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.
Теорема.Нечеткое отношение обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильной антирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его -уровни.
Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений. Во-первых, она показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай нечетких отношений, и приводит ясный способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве
некоторого отношения заданного типа, например эквивалентности или порядка, то построение на соответствующего нечеткое отношение позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, а это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, допуская подобную неоднозначность возможных решений, ограничений и целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.
Нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:
где отношения определяются следующим образом:
Кроме всех вышеописанных свойств, выполняющихся для всех -уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких -уровней. Приведем примеры таких -свойств, предполагая, что элемент фиксированный:
-симметричность
-транзитивность
Аналогично могут быть определены и другие -свойства. Они могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог на силу отношения либо ищется такое , при котором обладает требуемым свойством.
Нечеткие отношения
Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений.
Операции над нечеткими отношениями
Объединение и пересечение нечетких отношений определяется следующим образом:
Отношение включения для нечетких отношений определяется с помощью отношения частичного порядка на :
Множество всех нечетких отношений между и
образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения и удовлетворяет следующим тождествам:
1. Идемпотентность:
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Дистрибутивность:
Выполнение этих тождеств для
следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки . В
выполняется также следующее соотношение:
Из полноты решетки следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Эти элементы определяют, соответственно, пустое и
универсальное нечеткие отношения:
Следующее соотношение определяет композицию нечетких отношений и :
Здесь обозначает наименьшую верхнюю грань множества элементов , где пробегает все значения из . В силу полноты эта операция всегда определена.
Существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, выводимых в . В зависимости от того, является ли множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь соответствующий вид. Например, если является множеством действительных чисел, то операция может быть заменена на операцию взятия среднего арифметического, что дает другое определение операции композиции:
В случае мы имеем
Замена операции на операцию умножения дает следующее определение композиции:
Нечеткое отношение такое, что
играет по отношению к операции композиции роль единицы: . В теории четких отношений отношение Е называется отношением равенства.
Для любого нечеткого отношения определяется также обратное отношение :
Основные определения
Теория нечетких отношений находит также приложение в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда связи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах "связь присутствует", "связь отсутствует", либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако, подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.
Обычное неразмытое -арное отношение
определяется как подмножество декартова произведения множеств
Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности
где в общем случае будем считать, что — это полная дистрибутивная решетка. Таким образом, — это частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани и операции пересечения и объединения в удовлетворяют законам дистрибутивности. Все операции над нечеткими отношениями определяются с помощью этих операций из . Например, если в качестве взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями пересечения и объединения в будут, соответственно, операции и , и эти операции будут определять и операции над нечеткими отношениями.
Далее мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений, являющихся отображением на отрезок , т.е. .
Если множества и конечны, нечеткое отношение между и
можно представить с помощью его матрицы отношения, первой строке и первому столбцу которой ставятся в соответствие элементы множеств и , а на пересечении строки и столбца помещается элемент (см. табл.2.1).
| 0 | 1 | 0,5 | 0,8 | |
| 0,7 | 0 | 0,6 | 0,3 | |
| 0 | 0,7 | 1 | 0,4 |
В случае, когда множества и совпадают, нечеткое отношение называют нечетким отношением на множестве X.
В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором каждая пара вершин из соединяется ребром с весом .
Пример.
Пусть и , тогда нечеткий граф, изображенный на рис рис. 2.1, задает некоторое нечеткое отношение .
Рис. 2.1.
Проекции нечетких отношений
Важную роль в теории нечетких множеств играет понятие проекции нечеткого отношения. Дадим определение проекции бинарного нечеткого отношения.
Пусть — функция принадлежности нечеткого отношения в . Проекции и
отношения на и — есть множества в и с функцией принадлежности вида
Условной проекцией нечеткого отношения
на , при произвольном фиксированном , называется множество
с функцией принадлежности вида .
Аналогично определяется условная проекция на при заданном :
Из данного определения видно, что проекции и не влияют на условные проекции и , соответственно. Дадим далее определение, которое учитывает их взаимосвязь.
Условные проекции второго типа определяются следующим образом:
Если или , то полагаем, соответственно, что
или .
Заметим, что условные проекции первого типа содержатся в соответствующих проекциях второго типа.
Пусть и — базовые множества,
— нечеткое отношение в и и — его проекции на и , соответственно.
Нечеткие множества и называются независимыми, если
Следовательно, они независимы по первому типу, если
и независимы по второму типу, если
В противном случае проекции и являются зависимыми (соответствующего типа).
Независимость второго типа можно интерпретировать следующим образом. Данные соотношения с учетом произвольности и перепишем в виде
Свойства нечетких отношений
Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.
1. Рефлексивность:
2. Слабая рефлексивность:
3. Сильная рефлексивность:
4. Антирефлексивность:
5. Слабая антирефлексивность:
6. Сильная антирефлексивность:
7. Симметричность:
8. Антисимметричность:
9. Асимметричность:
10. Сильная линейность:
11. Слабая линейность:
12. Транзитивность:
Транзитивное замыкание нечетких отношений
Большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные отношения. Они обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества . Например, если отношение в характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в придать смысл "предпочтения" или "доминирования", то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества , существование "наилучших", "недоминируемых" объектов и т.п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания нечеткого отношения.
Транзитивным замыканием отношения называется отношение , определяемое следующим образом:
где отношения определяются рекурсивно:
Теорема. Транзитивное замыкание любого нечеткого отношения транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим , т.е. , и для любого транзитивного отношения , такого, что , следует .
Как следствие из данной теоремы получаем, что транзитивно тогда и только тогда, если .
Если множество содержит элементов, то имеем
В случае, когда рефлексивно, имеем
Весьма полезным фактором является то, что -уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения совпадает с транзитивным замыканием соответствующего -уровня:
Заметим, что при транзитивном замыкании нечеткого отношения в общем случае сохраняются лишь некоторые свойства отношения . Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, линейность и транзитивность.
Классы нечетких отношений
Все типы нечетких отношений в зависимости от свойств, которыми они обладают, могут быть разделены на три больших класса. В первый класс входят симметричные отношения, которые обычно характеризуют сходство или различие между объектами множества . Второй класс образуют антисимметричные отношения; они задают на множестве отношения упорядоченности, доминирования, подчиненности и т.п. Третий класс состоит из всех остальных отношений.
Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть разделены на подклассы в зависимости от выполнения условий рефлексивности и антирефлексивности.
Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразличимости. В дальнейшем эти отношения будем называть отношениями сходства и обозначать буквой . Антирефлексивные и симметричные отношения называются отношениями различия и обозначаются буквой . Отношения сходства и отношения различия двойственны друг другу. Антисимметричные отношения, называемые предпорядками и обозначаемые буквой , в зависимости от выполнения условия рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и строгие порядки.
Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой , обычно выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут называться слабыми порядками.
На следующем уровне классификации из каждого класса отношений могут быть выделены отношения специального вида. Определяющим условием для них является условие транзитивности. Оно устанавливает связь между силой отношения для различных пар объектов из . Эта связь может быть очень слабой, а может накладывать достаточно сильные ограничения на возможные значения силы отношения между объектами из . Число отличающихся друг от друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для которого они формулируются.
Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью которых они определяются. Наиболее общими условиями транзитивности являются условия, определяемые с помощью решеточных операций и в . Более частыми являются условия, определяемые с помощью дополнительных операций в и зависящих от конкретного вида . В этих случаях указывается вид соответствующего множества . Далее мы будем рассматривать нечеткие отношения, определенные на множестве .
Отношения сходства и различия
Симметричное и рефлексивное нечеткое отношение сходства является аналогом обычного отношения толерантности. Нечеткие отношения сходства обычно задаются с помощью матриц сходства, связи между объектами, либо с помощью неориентированных взвешенных графов. Матрицы сходства могут быть получены как в результате измерения некоторого физического параметра, так и в результате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов из указывают их степень сходства в некоторой шкале сравнений.
Условие транзитивности для нечетких отношений сходства обычно формулируются в виде
которое при различных определениях операции композиции приводит к различным условиям транзитивности. Наиболее распространенными условиями транзитивности являются следующие:
()-транзитивность()-транзитивность
()-транзитивность
Наиболее интересными свойствами обладает ()-транзитивное отношение сходства , которое является обобщением обычного отношения эквивалентности. Это отношение называется нечетким отношением эквивалентности или
отношением подобия. Нетрудно показать, что любой -уровень нечеткого отношения эквивалентности является обычным отношением эквивалентности и, следовательно, определяет разбиение множества объектов на непересекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности -уровней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений множества , соответствующих различным -уровням, причем с уменьшением происходит укрупнение классов эквивалентности -уровней. Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности задает иерархическую совокупность разбиений множества на непересекающиеся классы эквивалентности.
Нечеткое отношение эквивалентности, в отличие от произвольного отношения сходства, определяет совокупность разбиений множества
на классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитивности накладывает дополнительно сильные ограничения на возможные значения степени принадлежности. В случае, когда , отношение сходства транзитивно тогда и только тогда, если для любых из трех чисел
по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не превышают третье.
Таким образом, нечеткое отношение эквивалентности обладает многими полезными свойствами из-за своего довольно специфического вида.
отношением различия называется симметричное и антирефлексивное нечеткое отношение. Отношение различия двойственно отношению сходства. В случае, когда , эти отношения могут быть получены друг из друга с помощью соотношения:
что можно записать в алгебраической форме как .
Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетворяющее следующему неравенству:
Очевидно, что это условие двойственно условию ()-транзитивности. Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось в кластерном анализе при исследовании свойств меры различия между объектами, определяющих естественное представление множества объектов в виде дерева разбиений. Представление ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга отношений эквивалентности было также известно в кластерном анализе, однако лишь в рамках теории нечетких отношений это представление получило естественное объяснение.
Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее неравенству треугольника:
От метрики обычно требуют выполнения условия сильной антирефлексивности. Метрика, удовлетворяющая лишь простому условию антирефлексивности, называется
псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике является ()-транзитивное отношение сходства.
Двойственным условию ()-транзитивности является следующее условие:
Порядки и слабые порядки
Антисимметричное, транзитивное нечеткое отношение называется отношением упорядочения или порядком. Мы будем рассматривать только строгие порядки, т.е. порядки, для которых выполняется свойство антирефлексивности. Свойства нестрогих (рефлексивных)порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.
Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности отношения строгого порядка , наиболее жесткие требования — условия линейной транзитивности и условие квазисерийности.
Если для отношения сходства условие транзитивности обычно записывают в виде и различные способы определения операции композиции позволяют задавать разные типы транзитивности, причем оказывается, что таких типов существует не так уж и много, то для отношения порядка условие транзитивности нечеткого отношения удобно записывать в виде, аналогичном условию транзитивности обычных порядков:
где — некоторая операция в . Оказывается, что из множества всех отношений порядка можно выделить значительное количество отличающихся друг от друга классов порядков специального вида, определяемых как способом задания операции в , так и способом записи условия транзитивности. Далее перечислим некоторые условия транзитивности, определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая асимметричность отношения строгого порядка , будем полагать , если .
Ацикличность:Слабая транзитивность:
Отрицательная транзитивность:
()-транзитивность:
()- транзитивность:
()- транзитивность:
Сильная транзитивность:
Сверхсильная транзитивность:
Метрическая транзитивность:
Квазисерийность:
Ультраметрическая транзитивность:
В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для , хотя некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда является решеткой.
Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности нечеткого отношения равносильны соответственно условиям ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности обычного отношения , определяемого следующим образом:
Аналогичные свойства могут быть определены как -свойства для различных -уровней отношения .
В отличие от первых трех свойств, остальные свойства более специфичны для нечетких отношений и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества . Для этих свойств также могут быть сформулированы -свойства.
Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяющего условию сильной транзитивности) является метрический порядок. Для асимметричных отношений условие метрической транзитивности эквивалентно неравенству треугольника.
Условие квазисерийности определяет нечеткую квазисерию. Каждый -уровень нечеткой квазисерии является обыкновенной квазисерией, т.е. удовлетворяет условиям
Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества
на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества
на упорядоченные классы эквивалентности на каждом -уровне. Эти разбиения вложены друг в друга; таким образом, нечеткая квазисерия определяет иерархию разбиений множества на упорядоченные классы эквивалентности.
Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является
линейный порядок, определяемый условием линейной транзитивности. Линейный порядок при интерпретации как силы предпочтения альтернативы над альтернативой
задает на множестве альтернатив некоторую аддитивную функцию полезности, которая может быть определена на , например, с помощью соотношения .
Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью, однако для антисимметричных отношений она не эквивалентна ультраметрическому неравенству .
Между строгими порядками (асимметричными отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований.
Если на задана операция дополнения, т.е. такая унарная операция , что на
выполняются тождества
то на множестве нечетких отношений может быть задана операция дополнения следующим образом:
и на множестве нечетких отношений будут выполняться тождества
Если на множестве нечетких отношений задана операция дополнения, то из отношения строгого порядка могут быть получены:
Отношение сходства Отношение различия Отношение слабого порядка
Транзитивностью отношения определяется тот или иной уровень транзитивности отношений и . В частности, если является нечеткой квазисерией, то определяемое им отношение является нечетким отношением эквивалентности, а отношение будет нечетким квазипорядком.
Нечеткие отношения порядка могут быть получены многими способами и допускают различную интерпретацию. Они могут выражать либо значение какого-либо физического параметра, характеризующего интенсивность доминирования над , либо усредненную по множеству критериев или индивидуумов силу предпочтения между объектами. Они могут быть получены с помощью шкалы сравнений, которой эксперты измеряют интенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтернатив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность доминирования и т.п.
Задачи нечеткого упорядочения
Любую задачу принятия решений можно сформулировать как задачу отыскания максимального элемента в множестве альтернатив с заданным в нем отношением предпочтения. Однако во многих реальных ситуациях в множестве альтернатив можно определить лишь нечеткое отношение предпочтения, т.е. указать для каждой пары альтернатив и лишь степени, с которыми выполняются предпочтения и . В таких случаях задача принятия решения становится неопределенной, поскольку неясно, что такое максимальный элемент для нечеткого отношения предпочтения. Для двух типов нечетких отношений можно предложить способы упорядочения элементов конечного множества, в котором задано нечеткое отношение. Способы эти сводятся к тому, что для каждого из рассматриваемых типов нечетких отношений строится некоторая функция (напоминающая функцию полезности), и элементы множества упорядочиваются по соответствующим им значениям этой функции.
Пусть — функция принадлежности бинарного нечеткого отношения в множестве (например, отношения нестрого предпочтения). Допустим, что рассматривается задача упорядочения элементов конечного множества . Упорядочение можно осуществлять по значениям следующей функции:
где , а функция
Для вычисления значений функции удобно пользоваться следующим равенством:
По отношению к этому упорядочению максимальным в множестве
является элемент такой, что
Рассмотрим еще одну задачу упорядочения, иллюстрируемую следующим примером.
Требуется решить, кто из детей: старший сын , младший сын или дочь
больше всего похож на отца . Заданы "результаты измерений": и
взятые отдельно, похожи на отца со степенями и соответственно; и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и ; наконец, и , взятые отдельно, похожи на отца со степенями и .
Таким образом, в этой задаче, в отличие от предыдущей, имеется стандартный элемент (шаблон) для упорядочиваемого множества , т.е. элемент, обладающий свойствами, общими для всех элементов этого множества. Иначе говоря, если — нечеткое отношение в (например, отношение сходства), то
При наличии стандартного элемента для каждой пары элементов
и множества
задаются величины , , т.е. степени отношения (например, сходства) и , взятых отдельно, к . Упорядочение элементов множества с заданным таким способом нечетким отношением предлагается осуществлять в соответствии со значениями функции
Максимальным в смысле этого упорядочения является элемент такой, что
Для задачи о сходстве отца и детей значения этой функции таковы:
Отсюда вытекает, что наиболее похож на отца старший сын, затем следуют дочь и младший сын.
Задачи нечеткой классификации
Пусть имеется набор фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть
— функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий и
значение
есть субъективная оценка человеком степени сходства и . Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.
Заметим, что нечеткое отношение обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для вводится -шаговое отношение следующим образом:
Это отношение является -арной композицией исходного "экспериментального" отношения и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых выполняется цепочка неравенств
из которой следует, в частности, что для любых
последовательность имеет предел при . Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством
Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений и следующим образом используется для классификации.
Для произвольного числа () вводится обычное (не нечеткое) отношение :
Нетрудно показать, что для любого ()
есть отношение эквивалентности в , т.е. для любых
выполняются обычные аксиомы эквивалентности
(1) — рефлексивность,
(2) — симметричность,
(3) — транзитивность.
Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение обладает свойством нечеткой транзитивности
Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества
на классы эквивалентности по полученному отношению .
Выбор величины порога в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению .
Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества
Показатель размытости нечеткого множества можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества по отношению к некоторому свойству , характеризующему эти объекты и определяющему в нечеткое множество объектов . Если некоторый объект обладает свойством , но лишь в частичной мере: , то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта по отношению к свойству
проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством ", и классу объектов, "не обладающих свойством ". Эта двусмысленность объекта по отношению к свойству
максимальна, когда степени принадлежности объекта к обоим классам равны, т.е. . И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, т.е. либо , либо ,. Таким образом, глобальный показатель размытости нечеткого множества можно определить в виде функционала , удовлетворяющего следующим условиям:
P1. , если
является заострением , т.е.
при
при и
любое при
P2.
P3. Если , то
Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный, симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на множестве всех нечетких подмножеств множества .
Можно доказать, что вещественный, определенный на функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление
где вещественнозначные функции от
такие, что строго возрастает на интервале и — число элементов множества .
Примером коэффициента размытости может служить логарифмическая энтропия нечетких множеств:
где — функция Шеннона
Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. Далее мы покажем, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики. Необходимо обратить внимание на связь между показателем размытости нечетких множеств и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов, "" или "не " , отнести объекты множества . На практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: "белый—черный", "пригоден—не пригоден", "нравится—не нравится", "хороший—плохой" и т.п. Такая альтернатива вызывает у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными свойствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. Допускается, что показатель неопределенности решений может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств.
Метрический подход к определению показателя размытости нечетких множеств
Показатель размытости нечетких множеств можно определить с помощью метрики как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества. Другой способ задания показателя размытости с помощью метрики — это определение его с помощью расстояния до максимального размытого множества и расстояния между нечетким множеством и его дополнением. Оказывается, эти подходы имеют много общего между собой, и определяемый с помощью метрики показатель размытости обладает многими свойствами, сформулированными выше.
Множеством, ближайшим к нечеткому множеству , называется неразмытое множество такое, что
Показателем размытости называется функционал
который может быть представлен также в виде
Если вместо расстояния Хэмминга использовать евклидово расстояние, то получим
Показатель размытости можно задать с помощью расстояния между нечетким множеством и его дополнением:
В случае метрики Хэмминга имеет вид
Такой показатель размытости удовлетворяет свойствам Р1 и Р2.
Далее выясним, что между показателями размытости, удовлетворяющими условиям Р1, Р2, Р3, и метриками определенного класса может быть установлено взаимно однозначное соответствие.
Нечеткие интегралы
Определение.
Нечеткий интеграл от функции на множестве
по нечеткой мере определяется как
где
нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием.
Определение.
Нечеткий интеграл от функции на нечетком множестве
по нечеткой мере определяется как
Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента
множеству . Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна , а для
() равна , т.е. степень принадлежности для будет больше, чем для , если . Если степень принадлежности равна , а вместо задано нечеткое подмножество , то
Это говорит о том, что степень нечеткости суждения "" равна степени принадлежности нечеткому подмножеству . Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.
Нечеткие меры
При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных статистических выводов. В последнее время возрастает потребность в новых подходах к математическому описанию информации, характеризующейся высоким уровнем неопределенности. Один из возможных подходов может основываться на обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных от ряда ограничений вероятностной меры.
Существуют различные интерпретации понятия вероятности. Это — классическая частотная интерпретация Лапласа, субъективная вероятность по Байесу и т.д. Наиболее содержательной с математической точки зрения является аксиоматическая трактовка вероятности А.Н.Колмогорова с помощью теории меры.
Мерой называется функция множества , удовлетворяющая следующим аксиомам:
Здесь — множество всех подмножеств , а — множество действительных чисел. При эти аксиомы определяют вероятностную меру.
Под субъективной вероятностной мерой понимается степень уверенности в данном событии, возникающая у человека на основе известных ему данных. Она всегда зависит от индивидуального опыта и поэтому различна для разных людей. Неясность суждений, основанных на субъективном анализе, обусловливает многие трудности, которые возникают при использовании субъективной вероятности.
Субъективную вероятность можно рассматривать как индивидуальный способ обработки тех аспектов субъективных данных, которые доступны индивидуальному суждению. Однако чаще всего такие суждения неаддитивны. Реальное поведение человека, как правило, противоречит предположению об аддитивности мер, которые он использует при оценке событий. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая мера свободна от весьма ограничивающего требования аддитивности, что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач при наличии неопределенности типа нечеткости.
В настоящее время существует тенденция вероятностной трактовки нечетких множеств.
Следует отметить, что, с точки зрения теории меры, такой подход видится неоправданным, поскольку понятие вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры. Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки вероятности и нечеткости.
Пусть — вероятностное пространство. Здесь — минимальная -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества , а — вероятностная мера, т.е. функция множества , удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны, нечеткое множество описывается функцией принадлежности , принимающей свои значения в интервале . С точки зрения теории отображений и — совершенно разные объекты. Вероятность определяется в -алгебре и является функцией множества, а есть обычная функция, областью определения которой является множество . Поэтому понятия вероятности и нечеткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.
Определение.
Функция , определяемая в виде , называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:
— монотонная последовательность .
Тройка называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: . Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.
Выражение представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости , т.е. оценку нечеткости суждения "" или степень субъективной совместимости с . Нетрудно увидеть, что монотонность меры влечет за собой
Для построения нечетких мер используют следующее -правило. Пусть . Тогда
В случае данное выражение называют условием нормировки для -мер. Очевидно, что , . Параметр называется параметром нормировки
-меры. При
имеем класс супераддитивных мер, а при получаем класс субаддитивных мер.
Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы
Как уже говорилось в прошлых лекциях, нечеткие множества используются для описания плохо определенных, неоднозначно понимаемых ситуаций, объектов, понятий. Де Лука предложил ввести в рассмотрение показатель этой неопределенности, который можно было бы использовать для оценки, классификации объектов, описываемых нечеткими множествами. Он же сформулировал основные свойства, которым должен удовлетворять такой показатель, называемый показателем размытости (или мерой энтропии) нечетких множеств, и в качестве этого показателя был предложен функционал, аналогичный шенноновской энтропии в теории информации. В настоящее время рассматриваются различные альтернативные подходы к определению показателя размытости нечеткого множества, обсуждаются его свойства и возможные приложения.
Можно выделить несколько аспектов, связанных с понятием показателя размытости нечеткого множества. Прежде всего, это — интерпретация показателя размытости как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости, обусловленных неполной, частичной принадлежностью объектов множеству. Второй аспект связан с интерпретацией показателя размытости как меры отличия нечеткого множества от обычного множества. И наконец, само существование нетривиального показателя размытости, удовлетворяющего определенным свойствам, напрямую зависит от свойств алгебры нечетких множеств и характеризует ее как алгебраическую структуру. В соответствии с этими тремя аспектами и будут рассмотрены основные результаты, связанные с понятием показателя размытости.
Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо структурированных задач
Процесс субъективного оценивания
Рассмотрим задачу субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко описываемых объектов, таких как дом, лицо и т.п. Предположим, что объект характеризуется показателями.
Пусть — множество показателей. При оценивании дома такими показателями могут быть: — площадь, — удобства и т.д. В общем случае множество не обязательно должно быть множеством физических показателей, оно может быть множеством мнений, критериев и т.п.
Пусть — частная оценка объекта, т.е. — оценка элемента . Если речь идет о распознавании образов, то может рассматриваться как характеристическая функция образа. На практике
может быть легко определена объективно или субъективно. Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку , которая может быть нормализована числом из интервала .
Предположим, что нечеткая мера для является субъективной мерой, выражающей степень важности подмножества из . Например, выражает степень важности элемента при оценке объекта, — аналогично обозначает степень важности показателей
и . Необходимо отметить, что степень важности всего множества равна единице.
Вычисляя нечеткий интеграл от до , получаем
где — обобщенная оценка объекта.
Данное уравнение представляет собой свертку частных оценок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы. Свертка же может быть очень полезной, когда существует взаимозависимость показателей, что характерно для большинства задач выбора в нечеткой среде.
Экспериментальное определение нечеткой меры
Рассмотрим метод приближенного экспериментального определения нечеткой меры. Предположим, что существует объектов. Пусть — частная оценка -го объекта, а — общая оценка. Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки из интервала
для всех объектов.
Обозначим
и анологично . Производя нормализацию , мы имеем
Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии минимума критерия
Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства одномерных образов. Например, рассматривалось решение задачи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы. Известны применения нечетких мер для оценки привлекательности экскурсионных районов, которые оценивались по таким показателям, как красота природы, архитектурные памятники и т.п. Результаты оценок использовались для прогнозирования числа экскурсий в ближайшие десять лет.
Субаддитивные меры
Мера правдоподобия
Мера правдоподобия множества из определяется как
где — функция уверенности.
Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:
Пусть и - две меры - такие, что . В этом случае является функцией доверия тогда и только тогда, если — мера правдоподобия.
Мера возможности
Мерой возможности называется функция , удовлетворяющая следующим аксиомам:
где — множество натуральных чисел.
Пусть и - две меры - такие, что . Нечеткая мера является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, если является мерой возможности.
увеличить изображение
Рис. 4.1.
Мера вероятности
Вероятностная мера () является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера является вероятностной мерой тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:
-мера
Нечеткая мера
называется -мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Очевидно, что при , -мера является мерой возможности, а при — вероятностной мерой. Если , то -мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.
Супераддитивные меры
Функция доверия. Определение функции доверия предполагает, что степень доверия высказыванию , которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию и его отрицанию также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание является истинным с определенной степенью , его мера неопределенности выражается с помощью функции
которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на
.
Если , то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на .
Если или , то тогда
называется пустой функцией доверия
(полное незнание).
Итак, функция доверия — это мера, удовлетворяющая следующим свойствам:
Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра , полностью упорядоченного по вложению.
Согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:
Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами решетки нечетких множеств
Существование показателя размытости нечетких множеств оказывается тесно связанным со свойствами алгебры нечетких множеств Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами Р1, Р2, Р3 вырождается в тривиальный показатель, всюду равный нулю. Для более общих алгебр такого показателя просто не существует. Укажем соотношения, существующие между произвольными положительными оценками и показателями размытости.
Положительной оценкой на решетке нечетких множеств
называется функция , удовлетворяющая свойству
и условию
Положительная оценка определяет на метрику
Решетка с положительной оценкой и метрикой
называется метрической решеткой нечетких множеств. Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию
Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы де Моргана, то метрика является симметричной тогда и только тогда, если она определяется симметричной оценкой, т.е. такой оценкой, которая удовлетворяет условию
Теорема. В метрической решетке нечетких множеств функционалы
удовлетворяют свойствам ,,. Они попарно тождественны тогда и только тогда, если положительная оценка симметрична.
Примером симметричной оценки на решетке нечетких множеств может служить энергия нечеткого множества:
которая определяет симметричную метрику
Классификация методов построения функции принадлежности
В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики — это материальная точка, для электродинамики — вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется функцией принадлежности. Посредством нечеткого множества можно строго описывать присущие языку человека расплывчатые элементы, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Но основной трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом существующем в настоящее время методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.
Л.Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка . Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичный или производный) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, принимаемых к экспертной оценке. С другой стороны, имеются два типа свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.
Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функции принадлежности нечеткого множества. Можно выделить две группы методов: прямые и косвенные методы.
Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие. Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве объектов следующим образом:
для любых , тогда и только тогда, если предпочтительнее , т.е. в большей степени характеризуется понятием ; для любых , тогда и только тогда, если и безразличны относительно понятия .
Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, перечислением. Заде обосновывает назначение прямого метода следующим образом: "По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приблизительная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для решения задачи, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается таким образом в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с минимальной степенью точности".
В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является только исходными данными для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества являются точками в параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект оценивается в раз сильнее, чем другой, то второй объект оценивается только в раз сильнее, чем первый, и т.д.
Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими как высота, рост, вес, объем. В этом случае удобно непосредственное задание значений степени принадлежности.
К прямым методам можно отнести методы, основанные на вероятностной трактовке функции принадлежности , т.е. вероятности того, что объект будет отнесен к множеству, которое характеризует понятие .
Если гарантируется, что люди далеки от случайных ошибок и работают как "надежные и правильные приборы", то можно спрашивать их непосредственно о значениях принадлежности. Однако имеются искажения, например, субъективная тенденция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, должны использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.
Косвенные методы основаны на более пессимистических представлениях о людях как об "измерительных приборах". Рассмотрим, например, понятие "КРАСОТА", которое, в отличие от понятий "ДЛИНА" или "ВЫСОТА", — сложное и трудно формализуемое. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяется красота. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по отношению к искажениям в ответе. Для косвенных методов можно выдвинуть условие "безоговорочного экстремума": при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать, по крайней мере, два объекта, численные представления которых на интервале принимают значения и , соответственно.
Итак, нами выделены две основные группы методов построения функции принадлежности: прямые и косвенные. Однако, функция принадлежности может отражать как мнение группы экспертов, так и мнение одного эксперта. Следовательно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для группы экспертов. Кроме этого, необходимо рассмотреть методы построения функции принадлежности терм-множеств.
Методы измерений
Ранжирование. При ранжировании эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. Парная оценка или метод парных сравнений представляет собой процедуру установления предпочтений объектов при сравнении всех возможных пар. Непосредственная оценка представляет собой процедуру приписывания объектам числовых значений по шкале интервалов. Эквивалентным объектам приписывается одно и то же число. Этот метод может быть осуществлен только при полной информированности экспертов о свойствах объектов. Вместо числовой оси может использоваться балльная оценка. Последовательное сравнение включает в себя ранжирование и непосредственную оценку.
Методы построения функции принадлежности. Классификация
С древних времен и до наших дней измерения как один из способов познания играют важную роль в жизни человека. Сначала человек в своей повседневной деятельности довольствовался информацией, доставляемой лишь его органами чувств, а затем привлек им в помощь средства измерительной техники.
Целью измерения является получение количественной информации о величине исследуемых объектов, под которыми понимаются реально существующие объекты (предметы, процессы, поля, явления и т.д.) материального мира, а также взаимодействия между ними. Задачи измерения могут быть как познавательными (изучение элементарных частиц, организма человека и т.д.), так и прикладными (управление конкретным технологическим процессом, контроль качества продукции) . Получение и использование информации — характерное свойство кибернетических систем. Поэтому измерение можно рассматривать как ту часть кибернетики, которая принимает в качестве объекта исследования предметы и явления окружающего мира, в качестве метода — эксперимент, а в качестве средства — измерительную технику.
Существует тесная взаимосвязь между научно-техническим прогрессом и достижениями в области измерений и измерительной техники. Серьезной составной частью большинства научно-исследовательских работ являются измерения, позволяющие установить количественные соотношения и закономерности изучаемых явлений. Важность измерений в достижении научных результатов неоднократно отмечалась известными учеными: "Надо измерять все измеримое и делать измеримым то, что пока не поддается измерению" (Галилео Галилей); "Наука начинается с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры" (Д.И.Менделеев); "Искусство измерения является могущественным орудием, созданным человеческим разумом для проникновения в законы природы" (Б.С.Якоби). Прогресс в области измерений способствовал и способствует многим новым открытиям, а достижения науки, в свою очередь, — совершенствованию методов и средств измерений (например, благодаря использованию лазеров, микроэлектроники и т.п.).
При проведении экспертиз важным условием успеха является возможность формализовать информацию, не поддающуюся количественному измерению, так, чтобы помочь принимающему решение выбрать из множества действий одно. Поэтому в вопросах, связанных с теорией измерений, основное место отводится понятию шкалы измерения. В зависимости от того, по какой шкале идет измерение, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.
Методы проведения групповой экспертизы
Методы проведения групповых экспертиз делятся на:
очные и заочные;индивидуальные и коллективные;с обратной связью и без обратной связи.
При очном методе проведения экспертизы эксперт работает в присутствии организатора исследования. Эта необходимость может возникнуть, если задача поставлена недостаточно четко и нуждается в уточнении, а также если задача очень сложна. Эксперт может обратиться к организатору за разъяснениями.
При коллективном методе проведения экспертизы поставленная проблема решается сообща, "за круглым столом". При индивидуальном — каждый эксперт оценивает проблему, исходя из личного опыта и убеждений. Экспертиза с обратной связью (метод Дельфы) предусматривает проведение нескольких туров опроса и анонимное анкетирование. После каждого тура экспертные оценки обрабатываются, и результаты обработки сообщаются экспертам. Метод без обратной связи предусматривает один тур опроса при получении удовлетворительных результатов.
Каждый метод имеет ряд достоинств и недостатков, и при выборе определенного метода необходимо хорошо взвесить все его положительные и отрицательные стороны.
Коротко о достоинствах и недостатках каждого метода.
Для проведения очного опроса требуется больше времени, т.к. организатор экспертизы работает с каждым участником лично, но при сложности поставленной задачи это компенсируется большей точностью полученных результатов.
При проведении экспертизы методом экспертных комиссий группа специалистов коллективно оценивает исследуемую проблему. В этих условиях на группу может быть оказано давление одним из авторитетных ее членов, который способен лучше, чем другие, отстаивать свое мнение. Но в этом случае вероятность получения решения поставленной задачи больше. Этот метод рекомендуется при необходимости найти решение в кратчайшие сроки.
Проведение экспертизы методом Дельфы связано с большими затратами времени, т.к. в этом случае необходимо провести несколько туров. Но оглашение результатов предыдущего тура и последующий опрос позволяет добиться уменьшения диапазона разброса в индивидуальных ответах и сблизить точки зрения. Работа заканчивается, когда достигнута желаемая сходимость ответов экспертов. Опыт показывает, что чаще всего достаточно бывает провести четыре тура. Метод применяется обычно в прогнозировании, когда имеется большая степень неопределенности.
Экспертиза без обратной связи может проводиться при хорошей информированности экспертов в области поставленной задачи.
Типы шкал
Шкалы наименований или классификации используются для описания принадлежности объектов к определенным классам. Всем объектам одного и того же класса присваивается одно и то же число, объектам разных классов — разные.
Здесь наблюдаются только два отношения: "равно" и "не равно". Следовательно, допустимы любые преобразования лишь бы одинаковые объекты были поименованы одинаковыми символами (числами, буквами, словами), а разные объекты имели бы разные имена. Этим способом фиксируются такие характеристики, как собственные имена людей, их национальность, названия населенных пунктов и т.п.
Шкала порядка применяется для измерения упорядочения объектов по единичному или совокупности признаков. Числа в шкале порядка отражают только порядок следования объектов и не дают возможности сказать, на сколько или во сколько один объект предпочтительнее другого.
Допустимыми преобразованиями для данного типа шкалы являются все монотонные преобразования, т.е. такие, которые не нарушают порядок следования значений измеряемых величин. Такие шкалы появляются, например, в результате сравнения тел по твердости. Записи "1; 2; 3" и "5,3; 12,5; 109,2" содержат одинаковую информацию о том, что первое тело самое твердое, второе менее твердое, а третье — самое мягкое. И никакой информации о том, во сколько раз одно тверже другого, на сколько единиц оно тверже и т.д., в этих записях нет, и полагаться на конкретные значения чисел, на их отношения или разности нельзя.
Разновидностью шкалы порядка является шкала рангов, где используются только числа, идущие подряд от 1 вверх по возрастанию. Если среди измеряемых объектов одинаковых нет, то ранговое место каждого объекта в протоколе будет указано одним из целых чисел от 1 до . При одинаковом значении измеряемого свойства у
объектов, занимающих порядковые места с -го по -е, их ранги будут обозначены одинаковым числом, равным их "среднему" рангу , где , .
Такая разновидность шкалы порядка называется "нормированной шкалой рангов".
К типу шкал порядка относится и широко используемая шкала баллов. При этом используются целые числа в ограниченном диапозоне их значений: от 1 до 5 в системе образования, от 0 до 6 или до 10 в спорте и т.д. В любом из этих случаев протокол содержит информацию только о трех эмпирических отношениях: "<", ">" и "=".
Шкала интервалов применяется для отображения величины различия между свойствами объектов (измерение температуры по Фаренгейту и Цельсию). Шкала может иметь произвольные масштаб и точки отсчета.
Здесь между протоколами и допустимы линейные преобразования: , где — любое положительное число, а может быть как положительным, так и отрицательным. Это значит, что в разных протоколах может использоваться разный масштаб единиц (a) и разные начала отсчета (b). Примером шкал этого типа могут быть шкалы для измерения температуры. Если в протоколе указаны градусы, но не говорится, в какой шкале (Цельсия, Кельвина и т.д.), то во избежание недоразумений при описании закономерностей можно использовать только отношения интервалов, так как при любых значениях и сохраняется равенство Если записи в протоколе сопровождаются информацией о том, какие именно градусы имеются в виду (например, ""), то мы имеем дело с протоколом в абсолютной шкале.
Шкала отношений используется, например, для измерения массы, длины, веса. В этой шкале числа отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит свойство другого.
Между разными протоколами, фиксирующими один и тот же эмпирический факт на разных языках, при этом типе шкалы должно выполняться соотношение: , где — любое положительное число. Один и тот же эмпирический смысл имеют протоколы "16 кг", "16000 г", <0,016 т" и т.д. От любой записи можно перейти к любой другой, подобрав соответствующий множитель "". Этот тип шкалы удобен для измерения весов, длин и т.д. Если нам неизвестно, в каких именно единицах записаны веса тел в разных протоколах, то мы можем полагаться только на отношение весов двух тел: например, тело с весом 10 единиц в два раза тяжелее тела с весом 5 единиц вне зависимости от того, что было взято за единицу — тонна или грамм.
Инвариантность отношений отражена в названии шкалы данного типа. Если же в протоколе указана единица веса, то такой протокол отражает свойства тел в абсолютной шкале.
Шкала разностей используется для измерения свойств объектов при необходимости указания, на сколько один объект превосходит другой по одному или нескольким признакам. Является частным случаем шкалы интервалов при выборе единицы масштаба.
Абсолютная шкала — частный случай шкалы интервалов. В ней обозначается нулевая точка отсчета и единичный масштаб. Применяется для измерения количества объектов.
Допустимое преобразование для шкал данного типа представляет собой тождество, т.е. если на одном языке в протоколе записано "", а на другом языке "", то между ними должно выполняться простое соотношение: . Этот тип шкалы удобен для записи количества элементов в некотором конечном множестве. Если, пересчитав количество яблок, один эксперт запишет в протоколе "6", а другой — "VI", то нам достаточно знать, что "6" и "VI" означают одно и то же, т.е., что между этими записями существует тождественное отношение: .
Косвенные методы для группы экспертов
А.П.Шер предлагает способ определения функции принадлежности на основе интервальных оценок. Пусть интервал отражает мнение -го эксперта,
(), о значении -го () признака оцениваемого понятия . Тогда полным описанием этого понятия -м экспертом является гиперпараллелепипед . Приводится процедура, позволяющая вычислять коэффициенты компетентности экспертов, а также сводить исходную "размытую" функцию (усредненные экспертные оценки) к характеристической функции неразмытого, четкого множества. Алгоритм следующий:
Рассматривая для каждого признака
все интервалы, предложенные экспертами, находим связанное покрытие их объединения, состоящее из непересекающихся интервалов, концами которых являются только концы исходных интервалов:
Образуем на основе полученных покрытий непересекающиеся гиперпараллелепипеды:
Вычисляем для .
Полагаем номер итерации . Вводим коэффициенты компетентности
Вычисляем приближение функции принадлежности при нормированных , т.е. :
Вычисляем функционал рассогласования мнения -го эксперта с мнением экспертного совета на -й итерации:
Вычисляем
Присваиваем . Вычисляем Если величина
близка к нулю, то вычисления прекращаем и приближением функции принадлежности считаем , в противном случае возвращаемся к шагу 6.
Опишем кратко косвенный метод, предложенный З.А.Киквидзе. Пусть — универсальное множество, — понятие, общее название элементов. Задача определения нечеткого подмножества , описывающего понятие , решается путем опроса экспертов. Каждый эксперт
() выделяет из множество элементов , по его мнению, соответствующих понятию . Ранжируя все элементы множества по предпочтению в смысле соответствия понятию , каждый эксперт упорядочивает , используя отношение порядка или . Отношение указывает на одинаковую степень предпочтения между любыми элементами . Предполагается, что эксперты могут поставить коэффициенты степени предпочтения
перед элементами в упорядоченной последовательности, усиливая или ослабляя отношение предпочтения. Вводится расстояние между элементами указанной последовательности :
Здесь , — порядковые номера элементов в упорядочении. Расстояние вычисляется через первый в упорядочении элемент:
Эта разность показывает, насколько предпочтительнее по сравнению с . При решении задачи взвешивания предпочтительности элементов множества
предполагается, что разность между весами
пропорциональна разности : . Когда , формула превращается в рекуррентную формулу, и задача сводится к определению веса первого элемента. При использовании рекуррентных формул вес последнего элемента должен отличаться от нуля. Например, в качестве
можно выбрать . На основании всех для определяется значение ; это и есть степень принадлежности элемента некоторому нечеткому множеству с общим названием .
Зиммерман предлагает метод, сочетающий преимущества косвенных методов в их простоте и стойкости к искажениям ответов экспертов и преимущества прямых методов, позволяющих получить непосредственно значения степени принадлежности. Выборку объектов необходимо проводить так, чтобы достаточно равномерно представить степень принадлежности от до по отношению к рассматриваемому нечеткому множеству. Эта выборка должна удовлетворять условию безоговорочного экстремума, т.е. должна содержать, по крайней мере, два объекта, значения функции принадлежности на которых имеют определенность
и (все эксперты приписывают эти числа экстремумам). Далее, когда множество подходящих объектов отобрано, эксперты опрашиваются о степенях принадлежности в процентной шкале. Оценка позиции по шкале каждого объекта определяется посредством медианы из распределений значений принадлежности. В качестве процедуры шкалирования используется метод, основанный на законе Терстона об измерении категорий. Процедура, требующая отсортировки объектов в категории на некотором континууме свойств
экспертами, дает распределение частоты для каждого объекта по категориям. Средние значения границ категорий, полученные методом наименьших квадратов, позволяют определить значения оценок объектов на шкале.
Косвенные методы для одного эксперта
В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.
Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати. Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества, на которой задается лингвистический терм.
Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества. Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений.
Пусть — некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм. Нечеткое множество, с помощью которого формализуется терм , представляет собой совокупность пар:
где — универсальное множество, на котором задается нечеткое множество . Задача состоит в том, чтобы определить значения для всех . Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.
Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.
В нашем случае под рангом элемента будем понимать число , которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом.
Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности.
Для последующих построений введем такие обозначения: , . Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:
Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.
Если опорным является элемент с принадлежностью , то
Учитывая условие нормирования, находим:
Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов к нечеткому терму двумя независимыми путями:
по абсолютным оценкам уровней , которые определяются согласно методикам, предложенным в теории структурного анализа систем;по относительным оценкам рангов , которые образуют матрицу .
Эта матрица обладает следующими свойствами:
а) она диагональная, т.е.
б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью
в) она транзитивна, т.е. .
Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы легко определить элементы всех других строк. Если известна -я строка, т.е. элементы , , то произвольный элемент находится так:
Поскольку матрица может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:
| 1 | отсутствие преимущества над |
| 3 | слабое преимущество над |
| 5 | существенное преимущество над |
| 7 | явное преимущество над |
| 9 | абсолютное преимущество над |
| 2, 4, 6, 8 | промежуточные сравнительные оценки |
Таким образом, с помощью полученных формул экспертные знания о рангах элементов или их парные сравнения преобразуются в функцию принадлежности нечеткого терма.
Скала предлагает общий метод варьирования прототипов получения численного значения функции принадлежности. Пусть имеется прототип (или идеальный объект) , описание которого можно деформировать изменением параметров .Если дан некоторый объект , то, варьируя параметры, можно добиться наибольшего соответствия прототипа и объекта. Вводится мера сходства между объектом и прототипом : .
Для более точного измерения сходства объекта с разными прототипами вводится штрафная функция . Далее строится функция:
Так как прототип полностью соответствует самому себе, то . Численные значения функции принадлежности вычисляются по формуле
Методы построения терм-множеств
Считается, что для практических задач достаточно наличия нечеткого языка с фиксированным конечным словарем — ограничение не слишком сильное с точки зрения практического использования. Лингвистическая переменная , используемая при формализации задач принятия решения, на практике, как правило, имеет базовое терм-множество , состоящее из 2—10 термов. Каждый терм описывается нечетким подмножеством множества значений некоторой базовой переменной и рассматривается как лингвистическое значение . Предполагается, что объединение всех этих элементов терм-множества покрывает полностью . Это гарантирует, что любой элемент описывается некоторым .
Существует способ построения частотных оценок {"редко", "часто", "иногда",...}, который основан на предположении о том, что слово употребляется человеком не для обозначения зарегистрированной частоты появления факта, а для обозначения относительного числа событий в прошлой деятельности человека, когда рассматривалась такая же частота. Каждому
ставится в соответствие нечеткое подмножество интервала . Функции принадлежности получаются на основании психологического эксперимента следующим образом: группе испытуемых предъявляется набор стимулов (оценок частоты) и шкала из категорий, упорядоченных по степени интенсивности частоты от наименьшей до наибольшей ; испытуемым предлагается разбить стимулы на классов согласно интенсивности частоты, независимо оценивая каждый стимул и помещая в любую категорию любое число стимулов. Каждому числу из , , ставятся в соответствие степени употребления группой испытуемых слова
для обозначения категории. Значения функции принадлежности определяются в результате нормирования: .
Предложенная методика оправдана следующим: выбор обозначения категории не отражается сколь-нибудь значительно на проведении испытания. Во-первых, число категорий (деление шкалы) не влияет кардинально на результаты эксперимента, в котором производится шкалирование субъективных ощущений. Во-вторых, шкала из
категорий является шкалой равно кажущихся интервалов, поскольку предполагается, что ее деления отстоят на психологическом континууме на равных интервалах.
Естественным шагом при построении функций принадлежности элементов терм-множества лингвистической переменной является построение одновременно всех функций принадлежности этого терм-множества, сгруппированных в так называемое отношение моделирования . Процесс построения состоит в заполнении таблицы, где, например, для лингвистической переменной "РАССТОЯНИЕ" столбцы индексированы расстояниями в метрах, а строки — элементами терм-множества "ОЧЕНЬ БЛИЗКО", "БЛИЗКО",..., "ДАЛЕКО", "ОЧЕНЬ ДАЛЕКО". На пересечении соответствующей строки и столбца стоит степень сходства для испытуемого данных понятий в определенной семантической ситуации, например, насколько сходны понятия "БЛИЗКО" и "5 метров" в ситуации перебегания улицы перед быстро идущим транспортом. Расстояние берется от пешехода до машины и в данном случае является синонимом опасности. Вообще говоря, каждую клеточку таблицы можно заполнять отдельно, а потом, переставляя строки и столбцы, постараться сделать строки и столбцы унимодальными. Если это удается, то исходное терм-множество может быть использовано для построения нечеткой шкалы измерений, точками отсчета которой являются сами элементы терм-множества. Перевод в эту шкалу будет осуществляться с помощью минимаксного умножения строки, задающей исходную лингвистическую переменную в шкале метров, на отношение моделирования. Отношение сходства между элементами терм-множества , полученное с помощью умножения матрицы на транспонированную, задает набор функций принадлежности элементов лингвистической шкалы в самой шкале, а отношение
задает набор функций принадлежности расстояний в метрах в метрической шкале.
Прямые методы для группы экспертов
При интерпретации степени принадлежности как вероятности было предложено получать функции принадлежности для нескольких классов понятий расчетным путем, используя равенство , где условная вероятность определяется по формуле Байеса:
причем
— число случаев при значении параметра , когда верной оказалась -я гипотеза.
Я.Я.Осис предложил следующую методику оценки функции принадлежности. Первоначально определяется то максимальное количество классов, которое может быть описано данным набором параметров. Для каждого элемента
значение функции принадлежности класса дополняет до единицы значения функции принадлежности класса (в случае двух классов). Таким образом, система должна состоять из классов, представляющих противоположные события. Сумма значений функции принадлежности произвольного элемента к системе таких классов будет равна единице. Если число классов и их состав четко не определены, то необходимо вводить условный класс, включающий те классы, которые не выявлены. Далее эксперты оценивают в процентах при данном состоянии степень проявления каждого класса из названного перечня.
Однако в некоторых случаях мнение эксперта очень трудно выразить в процентах, поэтому более приемлемым способом оценки функции принадлежности будет метод опроса, который состоит в следующем. Оцениваемое состояние предъявляется большому числу экспертов, и каждый имеет один голос. Он должен однозначно отдать предпочтение одному из классов заранее известного перечня. Значение функции принадлежности вычисляется по формуле , где — число экспертов, участвовавших в эксперименте, и — число экспертов, проголосовавших за класс .
Пример.
Пусть в результате переписи населения в некоторой области с численностью жителей получено множество значений возраста . Пусть — число людей, имеющих возраст и утверждающих, что являются молодыми. Пусть — действительное число людей, имеющих возраст ; тогда . Можно считать, что понятие "МОЛОДОЙ" описывается нечетким множеством на с функцией принадлежности . Очевидно, что для малых значений возраста , следовательно, . Однако, не все считают себя молодыми, следовательно, . Для число
должно быть очень маленьким.
Прямые методы для одного эксперта
Прямые методы для одного эксперта состоят в непосредственном задании функции, позволяющей вычислять значения. Например, пусть переменная "ВОЗРАСТ" принимает значения из интервала . Слово "МОЛОДОЙ" можно интерпретировать как имя нечеткого подмножества , которое характеризуется функцией совместимости. Таким образом, степень, с которой численное значение возраста, скажем , совместимо с понятием "МОЛОДОЙ", есть , в то время как совместимость и с тем же понятием есть и соответственно.
Рассмотрим предложенный Осгудом метод семантических дифференциалов. Практически в любой области можно получить множество шкал оценок, используя следующую процедуру:
определить список свойств, по которым оценивается понятие (объект); найти в этом списке полярные свойства и сформировать полярную шкалу; для каждой пары полюсов оценить, в какой степени введенное понятие обладает положительным свойством.
Совокупность оценок по шкалам была названа профилем понятия. Следовательно, вектор с координатами, изменяющимися от до , также называется профилем. Профиль есть нечеткое подмножество положительного списка свойств или шкал.
Пример.
В задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:
| Высота лба | Низкий-широкий | |
| Профиль носа | Горбатый-курносый | |
| Длина носа | Короткий-длинный | |
| Разрез глаз | Узкие-широкие | |
| Цвет глаз | Темные-светлые | |
| Форма подбородка | Остроконечный-квадратный | |
| Толщина губ | Тонкие-толстые | |
| Цвет лица | Смуглое-светлое | |
| Очертание лица | Овальное-квадратное |
Светлое квадратное лицо, у которого чрезвычайно широкий лоб, курносый длинный нос, широкие светлые глаза, остроконечный подбородок, может быть определено как нечеткое множество .
Способ вычисления частичной принадлежности друг другу строгих множеств. Пусть покрытием обычного множества является любая совокупность обычных подмножеств
множества таких, что . В крайнем случае, когда для любых , , имеет место разбиение . Предположим, что имеется , тогда
может рассматриваться как нечеткое подмножество с функцией принадлежности
где — мощность множества .
Пример.
Пусть , , , , , , . Тогда, рассматривая как нечеткое подмножество , можно написать
Любое решение задачи многоцелевой оптимизации можно рассматривать как нечеткое подмножество значений целевой функции следующим образом. Пусть — целевые функции, где , и пусть требуется решить задачу для всех . Пусть — максимальное значение функции и — множество целевых функций, тогда любое значение в области определения
можно рассматривать как нечеткое множество на с вектором значений принадлежности
